Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \).

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}\)

Ta có: \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 1\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} \in \left( { - 2;\,1} \right)\\x = 0\\x = {x_2} \in \left( {1;\,2} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}} = \infty \\\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}} = \infty \\\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}} = \infty \end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}\) có 3 đường TCĐ.

Chọn C.