Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \).

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 \ge 0\\4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{3}\\3x + 1 - 4\sqrt {3x + 1}  + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{3}\\{\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{3}\\\sqrt {3x + 1}  - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{3}\\3x + 1 \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{3}\\x \ne 1\end{array} \right..\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{ - {{\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}}{{ - {{\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)}^2}\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {\sqrt {3x + 1}  + 2} \right)}}{{3\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)\left( {1 - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {3x + 1}  + 2}}{{3\left( {\sqrt {3x + 1}  - 2} \right)}} =  + \infty .\end{array}\)

\( \Rightarrow x = 1\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x}}}{{4\sqrt {\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  - 3 - \dfrac{5}{x}}} =  - \dfrac{1}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1}  - 3x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x}}}{{ - 4\sqrt {\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  - 3 - \dfrac{5}{x}}} =  - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{3}\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Chọn C.