Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} - 2x - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\;2} \right]\\x =  - 2\; \notin \left[ { - \dfrac{1}{2};\;2} \right]\end{array} \right.\)

Ta có: \(y\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{5}{2};\,\,y\left( 0 \right) = 2;\,\,y\left( 2 \right) = \dfrac{{10}}{3}.\)

Vậy \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - \dfrac{1}{2};\;2} \right]} y = \dfrac{{10}}{3}\;\;khi\;\,x = 2.\)

Chọn C.