Phương pháp giải:

Đặt \(\cos x = t\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) sau đó xét hàm số theo ẩn \(t.\)

Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)  bằng cách đánh giá \(y'.\)

Nếu \(y' > 0;\forall t \in \left[ {a;b} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = y\left( a \right);\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = y\left( b \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\cos x = t\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\)

Ta có \(y = \dfrac{{3t - 1}}{{3 + t}}\) \( \Rightarrow y' = \dfrac{6}{{{{\left( {3 + t} \right)}^2}}} > 0;\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = \dfrac{{3.\left( { - 1} \right) - 1}}{{3 + \left( { - 1} \right)}} =  - 2;\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = \dfrac{{3.1 - 1}}{{3 + 1}} = \dfrac{1}{2}\)

Hay \(m =  - 2;M = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m + M =  - 2 + \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{3}{2}.\)

Chọn D.