Phương pháp giải:

Xác định tọa độ 3 điểm cực trị theo tham số m

Lập phương trình và giải phương trình tìm m, biết \(R = 1\). Áp dụng các công thức tính diện tích tam giác:

\(S = \dfrac{1}{2}a{h_a} = \dfrac{{abc}}{{4R}}\)

Tính tổng lập phương các giá trị của tham số m.

Lời giải chi tiết:

\(y = {x^4} - 2m{x^2} + 1\,\,\left( 1 \right)\,\,\, \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(m > 0\).

Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị là: \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 1} \right),\,\,\,C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = 2\sqrt m \\AB = AC = \sqrt {m + {m^4}} \end{array} \right.\)

Độ dài đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\) là:

\(AH = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {m + {m^4} - m}  = {m^2}\)

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \({S_{\;\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m  = {m^2}\sqrt m \)

Và \({S_{\;\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \dfrac{{\left( {m + {m^4}} \right).2\sqrt m }}{{4R}}\, \)

                       \(= \,\dfrac{{\left( {m + {m^4}} \right).2\sqrt m }}{{4.1}} = \dfrac{{\left( {m + {m^4}} \right)\sqrt m }}{2}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{\left( {m + {m^4}} \right)\sqrt m }}{2}{\mkern 1mu} = {m^2}\sqrt m {\mkern 1mu} \Leftrightarrow 1 + {m^3} = 2m\\
\Leftrightarrow {m^3} - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\
{m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\
{m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Tổng lập phương các giá trị của tham số m là: \({1^3} + {\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^3} =  - 1 + \sqrt 5 \).

Chọn: D