Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đưa điều kiện bài toán về điều kiện tương đương đối với phươn trình hoành độ vừa xét.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + m} \right) \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số tại \(2\) điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) = {m^2} - 6m - 3 > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Gọi tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\).

Khi đó \(A{B^2} = 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \Rightarrow AB \le 4 \Leftrightarrow A{B^2} \le 16 \Leftrightarrow 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 16\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 8 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 8\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 8 \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 3 - 8 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 \le 0 \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 5  \le m \le 3 + 2\sqrt 5 \end{array}\)

Kết hợp với \(\left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}3 + 2\sqrt 3  < m \le 3 + 2\sqrt 5 \\3 - 2\sqrt 5  \le m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m = 7\).

Vậy chỉ có duy nhất \(1\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.