Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số là: \(a = f'\left( {{x_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)

Ta có: \(y' = \frac{{ - 4.\left( { - 2} \right) - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\)

Gọi \(M\left( {{x_0}; - \frac{7}{3}} \right)\)  là điểm thuộc đồ thị hàm số.

\( \Rightarrow  - \frac{7}{3} = \frac{{3 - 4{x_0}}}{{{x_0} - 2}} \Leftrightarrow  - 7{x_0} + 14 = 9 - 12{x_0} \Leftrightarrow {x_0} =  - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - \frac{7}{3}} \right).\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại M là: \(a = y'\left( { - 1} \right) = \frac{5}{{{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{9}.\)

Chọn C.