Câu hỏi
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a,\,AA' = \frac{{3a}}{2}.\) Biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó theo \(a.\)
- A \(V = {a^3}.\sqrt {\frac{3}{2}} \)
- B \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\)
- C \(\frac{{3{a^3}}}{{4\sqrt 2 }}\)
- D \(V = {a^3}\)
Phương pháp giải:
Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = Sh.\)
Lời giải chi tiết:
Diện tích tam giác đều \(ABC:\;{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Ta có: \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
\( \Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) (định lý Py-ta-go).
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8} = \frac{{{a^3}}}{{4\sqrt 2 }}.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
