Phương pháp giải:

Ba số \(a,\;b,\;c\) lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \(a + c = 2b\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) với Ox: \({x^4} - \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2} = 0\) (1)

Đặt \({x^2} = t,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình (1)  trở thành  \({t^2} - \left( {3m + 4} \right)t + {m^2} = 0\) (2)

Để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\3m + 4 > 0\\{m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {3m + 4} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\m >  - \frac{4}{3}\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{m^2} + 24m + 16 > 0\\m >  - \frac{4}{3}\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >  - \frac{4}{5}\\m <  - 4\end{array} \right.\\m >  - \frac{4}{3}\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \frac{4}{5}\\m \ne 0\end{array} \right.\)

Khi đó,  phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt \({t_1},{t_2},\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)\) , dẫn tới (1) có 4 nghiệm phân biệt sắp xếp tăng dần như sau: \( - \sqrt {{t_2}} ;\, - \sqrt {{t_1}} ;\,\,\sqrt {{t_1}} ;\,\,\sqrt {{t_2}} \)

Để dãy số trên là dãy cấp số cộng thì \(\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{t_2}}  + \sqrt {{t_1}}  =  - 2\sqrt {{t_1}} \\\, - \sqrt {{t_1}}  + \sqrt {{t_2}}  = 2\sqrt {{t_1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}}  = \sqrt {{t_2}}  \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\)

Theo hệ thức Vi – ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 3m + 4\\{t_1}{t_2} = {m^2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} + 9{t_1} = 3m + 4\\{t_1}.9{t_1} = {m^2}\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{3m + 4}}{{10}}\\{t_1} = \frac{{\left| m \right|}}{3}\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{3m + 4}}{{10}} = \frac{{\left| m \right|}}{3}\) (3)

+) Với \(m > 0\): \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 9m + 12 = 10m \Leftrightarrow m = 12\;\;\,(tm)\)

+) Với \(m < 0\): \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 9m + 12 =  - 10m \Leftrightarrow m =  - \frac{{12}}{{19}}\,\;\;(tm)\)

Vậy \(m = 12\) hoặc \(m =  - \frac{{12}}{{19}}\).

Chọn: C