Phương pháp giải:

+) Chia cả 2 vế cho \(f\left( x \right) > 0\) sau đó lấy nguyên hàm 2 vế tìm \(f\left( x \right)\).

+) Từ giả thiết \(f\left( 0 \right) = 1\) xác định hằng số \(C\). Tính \(f\left( 3 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f'\left( x \right)\). Do \(f\left( x \right) > 0\) nên chia cả 2 vế cho \(f\left( x \right)\) ta được \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\).

Lấy nguyên hàm 2 vế \( \Rightarrow \int\limits_{}^{} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx}  = \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx}  \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1}  + C \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1}  + C}}\)

\(\begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {e^{2 + C}} = 1 = {e^0} \Leftrightarrow C =  - 2 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1}  - 2}}\\ \Rightarrow f\left( 3 \right) = {e^{2\sqrt {3 + 1}  - 2}} = {e^2} \approx 7,4\end{array}\)

Chọn D.