Câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( {\cos 2x} \right) - 2m - 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{4}} \right)\) là:
- A \(\left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right]\)
- B \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right]\)
- C \(\left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right]\)
- D \(\left( {\dfrac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{4};\dfrac{1}{4}} \right)\)
Phương pháp giải:
+) Đặt \(t = \cos 2x\), tìm khoảng giá trị của t.
+) Đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = 2m + 1\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \cos 2x\), vì \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow 2x \in \left( { - \dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos 2x \in \left[ { - 1;0} \right)\).
Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2m + 1\) có nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.
Dựa vào BBT ta có để phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2m + 1\) có nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\) thì \(1 \le 2m + 1 \le 2 \Leftrightarrow 0 \le m \le \dfrac{1}{2}\).
Vậy \(m \in \left[ {0;\dfrac{1}{2}} \right]\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
