Phương pháp giải:

Cho $\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b$. Ta có  $\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b$             

Xét giới hạn: $I = \lim f\left( n \right)\,\,\,(n \in {N^*}).$  Nếu $f\left( n \right)$chứa n dưới dấu căn thì ta có thể nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức liên hợp.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)$           

$\begin{array}{l} = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \dfrac{{{n^3} + 2{n^2} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \dfrac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 2{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}} + 1}} - \lim \dfrac{2}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \dfrac{2}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{2}{n}}} + 1}} = \dfrac{2}{2} - \dfrac{2}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}. \end{array}$

Chọn C.