Câu hỏi
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn \({10^6}\) được thành lập từ hai chữ số \(0\) và \(1\). Lấy ngẫu nhiên hai số trong \(S\). Xác suất để lấy được ít nhất một số chia hết cho \(3\) bằng.
- A \(\frac{{4473}}{{8128}}\)
- B \(\frac{{2279}}{{4064}}\)
- C \(\frac{{55}}{{96}}\)
- D \(\frac{{53}}{{96}}\)
Phương pháp giải:
Nhận xét : 1 số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3.
Mà các số chỉ được tạo thành từ các chữ số 0 và 1 do đó tổng = 3 hoặc 6 là số chia hết cho 3.
Từ đó chia trường hợp.
Lời giải chi tiết:
Có: \({a_1} \ne 0;\;{a_1};.......;\;{a_6} \in \left\{ {0;\;1} \right\}\) .
Số phần tử của \(S\) là : \(2 + 1.2 + 1.2.2 + 1.2.2.2 + 1.2.2.2.2 + 1.2.2.2.2.2 = 64\).
Lấy ngẫu nhiên hai số trong \(S\), có : \(C_{63}^2\) (cách lấy).
Gọi \(A\) là biến cố lấy được ít nhất một số chia hết cho \(3\).
\( \Rightarrow \overline A \) là biến cố không lấy được số chia hết cho \(3\).
Ta xét xem trong \(63\) số của tập \(S\) có bao nhiêu số chia được cho \(3\):
+ TH1: Số có 1 chữ số \({a_1}\) : có \(2\) số là 0; 1 và hai số này đều không chia được cho \(3\).
+ TH1: Số có 2 chữ số \(\overline {{a_1}{a_2}} \) với \({a_1} = 1\): có \(2\) số là 10; 11 và \(2\) số này đều không chia được cho \(3\).
+ TH2: Số có 3 chữ số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \) với \({a_1} = 1\): có \(4\) số và trong đó có \(1\) số chia được cho \(3\).
+ TH3: Số có 4 chữ số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \) với \({a_1} = 1\): có \(8\) số và trong đó có \(3\) số chia được cho \(3\).
+ TH4: Số có 5 chữ số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \) với \({a_1} = 1\): có \(16\) số và trong đó có \(6\) số chia được cho \(3\).
+ TH5: Số có \(6\) chữ số \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) với \({a_1} = 1\): có \(32\) số và trong đó có \(11\) số chia được cho \(3\).
Do đó có \(21\) số chia được cho \(3\) và có \(43\) số không chia được cho \(3\) .
Do đó: \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{C_{43}^2}}{{C_{64}^2}} = \frac{{43}}{{96}}\).
Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{53}}{{96}}\).
Chọn D