Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Số hạng thứ  \(k + 1\) của khai triển  là  \(T_{k + 1}^{} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {{2^x} + {2^{ - 2x}}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {{2^x}} \right)}^{n - k}}.{{\left( {{2^{ - 2x}}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {{2^x}} \right)}^{n - 3k}}} \)

Số hạng thứ  \(k + 1\) của khai triển  là  \(T_{k + 1}^{} = C_n^k{\left( {{2^x}} \right)^{n - 3k}}\)

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}C_n^1 + C_n^2 = 36 &  &  &  & \left( 1 \right)\\C_n^2{\left( {{2^x}} \right)^{n - 6}} = 7C_n^1{\left( {{2^x}} \right)^{n - 3}}\; & \; & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 36\\ \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 36 \Leftrightarrow {n^2} + n - 72 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\;\;\left( {tm} \right)\\n =  - 9\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\).

Thay \(n = 8\)vào \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow C_8^2{2^{2x}} = 7.C_8^1{.2^{5x}} \Leftrightarrow {2^{2x - 1}} = {2^{5x}} \Leftrightarrow 2x - 1 = 5x \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{3}\)

Chọn D.