Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:  \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Số hạng tổng quát của khai triển là: \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(n \ge 2.\)

Ta có: \({\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{x^{n - k}}{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)^k} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n {a_k}{x^{n - k}}\)  với  \({a_k} = C_n^k{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)^k}.\)

Theo giả thiết \({a_2} = 31 \Leftrightarrow C_n^2{\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = 31 \Leftrightarrow C_n^2 = 496 \Leftrightarrow n = 32\;\;\left( {tm} \right).\)

Chọn B