Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}},\;\;C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}.\)

Thay số giải bất phương trình tìm x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in N\\x \ge 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}A_{2x}^2 - A_x^2 \le \frac{6}{x}C_x^3 + 10 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{{\left( {2x} \right)!}}{{\left( {2x - 2} \right)!}} - \frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} \le \frac{6}{x}.\frac{{x!}}{{3!\left( {x - 3} \right)!}} + 10\\ \Leftrightarrow x\left( {2x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) \le \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 10\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - x - {x^2} + x \le {x^2} - 3x + 2 + 10\\ \Leftrightarrow 3x \le 12 \Leftrightarrow x \le 4.\end{array}\)

Kết hợp đk ta được \(3 \le x \le 4\)  thỏa mãn điều kiện bài toán.