Phương pháp giải:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) : \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\,\,\left( d \right)\).

+) Tìm điều kiện của \({x_0}\) để \(A\left( {0;2} \right) \in \left( d \right)\). Có bao nhiêu giá trị của \({x_0}\) ứng với bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = R\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 10x\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là :

\(y = \left( {3x_0^2 - 10{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 5x_0^2 + 2\) (d)

\(\begin{array}{l}A\left( {0;2} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow 2 = \left( {3x_0^2 - 10{x_0}} \right)\left( { - {x_0}} \right) + x_0^3 - 5x_0^2 + 2\\ \Leftrightarrow 2 =  - 3x_0^3 + 10x_0^2 + x_0^3 - 5x_0^2 + 2\\ \Leftrightarrow 2x_0^3 - 5x_0^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Với mỗi giá trị của \({x_0}\) ta xác định được 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\).

Vậy có 2 tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua  \(A\left( {0;2} \right)\).

Chọn C.