Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 3 \ge 0.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\left| x \right|\sqrt {m - 1 + \frac{3}{{{x^2}}}} }} =  \pm \frac{1}{{\sqrt {m - 1} }}.\)

\( \Rightarrow \) đồ thị hàm cố có 2 đường TCN \( \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1.\)

Chọn D.