Phương pháp giải:

Nhận xét: công thức tổng quát của tổng S  là : \(\frac{1}{2}\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}C_n^k\)

Vì k thay đổi nên để tính tổng theo nhị thức Newton ta biến đổi  \(\frac{1}{2}\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}C_n^k\) bằng cách sử dụng công thức tổ hợp: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(S = \frac{1}{2}\left( {C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}C_n^n} \right)\)

Vì  \(\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}C_n^k = \frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{(n - k)!k!}} = \frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(k + 1)!}}\frac{{(n + 1)!}}{{\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!(n + 1)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}}}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)

nên: \(S = \frac{1}{{2(n + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^n {{{( - 1)}^k}C_{n + 1}^{k + 1}}  = \frac{{ - 1}}{{2(n + 1)}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {{{( - 1)}^k}C_{n + 1}^k}  - C_{n + 1}^0} \right) = \frac{1}{{2(n + 1)}}\)

Chọn A