Phương pháp giải:

Công thức khai triển nhị thức Newton: \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\)

Số hạng tổng quát của khai triển là \({a_k} = C_n^k{.2^k}{x^k}.\)

từ đó hay vào tổng \({a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096\)để tìm n. Hệ số \({a_k}\) lớn nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {1 + 2x} \right)^n}\) là \(C_n^k{.2^k}.{x^k}\), \(0 \le k \le n\), \(k \in \mathbb{N}\). Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^k}\) là \(C_n^k{.2^k} \Rightarrow {a_k} = C_n^k{.2^k}\).

Khi đó, ta có

\(\begin{array}{l}{a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096 \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 4096\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {1 + 1} \right)^n} = 4096 \Leftrightarrow n = 12\end{array}\)

Dễ thấy \({a_0}\) và \({a_n}\) không phải hệ số lớn nhất. Giả sử \({a_k}\) \(\left( {0 < k < n} \right)\) là hệ số lớn nhất trong các hệ số \({a_0},\,\,{a_1},\,{a_2},\,...,\,{a_n}\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{12}^k{.2^k} \ge C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\\C_{12}^k{.2^k} \ge C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{12!}}{{k!.\left( {12 - k} \right)!}} \ge \frac{{12!.2}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {12 - k - 1} \right)!}}\\\frac{{12!}}{{k!.\left( {12 - k} \right)!}} \ge \frac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!.\left( {12 - k + 1} \right)!}}.\frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{12 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}\\\frac{2}{k} \ge \frac{1}{{13 - k}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + 1 - 2\left( {12 - k} \right) \ge 0\\26 - 3k \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ge \frac{{23}}{3}\\k \le \frac{{26}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{23}}{3} \le k \le \frac{{26}}{3}\end{array}\) .

Do \(k \in N \Rightarrow k = 8\).

Vậy hệ số lớn nhất là \({a_8} = C_{12}^8{.2^8} = 126720\).

Chọn B