Phương pháp giải:

Công thức khai triển nhị thức Newton:  \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Số hạng tổng quát của khai triển là \({a_k} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.\)

Giải hệ bất phương trình: \({a_{n - 9}} > {a_{n - 8}}\) và  \({a_{n - 9}} > {a_{n - 10}}\) để tìm \(n.\)

Lời giải chi tiết:

* Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

\(P\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^n} = C_n^0{x^n}{2^0} + C_n^1{x^{n - 1}}{2^1} + ... + C_n^{n - k}{x^k}{2^{n - k}} + ... + C_n^{n - 1}{x^1}{2^{n - 1}} + C_n^n{x^0}{2^n}{\rm{, }}n \in \mathbb{N}*\)

Mà \(P\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^n} = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_k}{x^k} + ... + {a_1}x + {a_0},{\rm{ }}n \in \mathbb{N}*\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_k} = {2^{n - k}}C_n^{n - k} = {2^{n - k}}C_n^k,{\rm{ }}0 \le k \le n\\ \Rightarrow {a_{n - 8}} = {2^8}C_n^{n - 8} = {2^8}C_n^8,{\rm{ }}{a_{n - 9}} = {2^9}C_n^9,{\rm{ }}{a_{n - 10}} = {2^{10}}C_n^{10}.\end{array}\)

* Theo đề bài với \(n \ge 10,{\rm{ }}n \in N*\):

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_{n - 9}} > {a_{n - 8}}\\{a_{n - 9}} > {a_{n - 10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^9}\frac{{n!}}{{9!\left( {n - 9} \right)!}} > {2^8}\frac{{n!}}{{8!\left( {n - 8} \right)!}}\\{2^9}\frac{{n!}}{{9!\left( {n - 9} \right)!}} > {2^{10}}\frac{{n!}}{{10!\left( {n - 10} \right)!}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{9} > \frac{1}{{n - 8}}\\\frac{1}{{n - 9}} > \frac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n > \frac{{25}}{2}\\n < 14\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 13.\)

Chọn A