Phương pháp giải:

Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^6} + {\left( {x + 1} \right)^7} + ... + {\left( {x + 1} \right)^{12}}\)  là tổng hệ số của \({x^5}\)trong các khai triển \({\left( {x + 1} \right)^6};\;{\left( {x + 1} \right)^7};\;{\left( {x + 1} \right)^8};.......;\;{\left( {x + 1} \right)^{12}}.\)  

Lời giải chi tiết:

Trong khai triển \({\left( {x + 1} \right)^6}\), hệ số của  là \(C_6^1{x^5}.\)

Trong khai triển \({\left( {x + 1} \right)^7}\),  hệ số của  là \(C_7^2{x^5}.\) 

Trong khai triển \({\left( {x + 1} \right)^8}\),  hệ số của  là \(C_8^3{x^5}.\)

........

Trong khai triển \({\left( {x + 1} \right)^{12}}\), hệ số của  là \(C_{12}^7{x^5}.\) 

Vậy hệ số của  trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^6} + {\left( {x + 1} \right)^7} + ... + {\left( {x + 1} \right)^{12}}\) là: \(C_6^1 + C_7^2 + C_8^3 + ..... + C_{12}^7 = 1715.\)

Chọn A