Phương pháp giải:

Tính \(y'\)

Từ giả thiết ta suy ra các điểm có tọa độ \((1; - 7),(2; - 8)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho và \(x = 1;x = 2\) là hai điểm cực trị của hàm số

Từ đó đưa về giải hệ bốn phương trình bốn ẩn để tìm \(a;b;c;d\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3\left( {3{a^2} - 1} \right){x^2} - 2\left( {{b^3} + 1} \right)x + 3{c^2}\)

Từ giả thiết ta suy ra các điểm có tọa độ \((1; - 7),(2; - 8)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho và \(x = 1;x = 2\) là hai điểm cực trị của hàm số nên ta có hệ phương trình sau

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {3{a^2} - 1} \right).8 - \left( {{b^3} + 1} \right).4 + 6{c^2} + 4d =  - 8\\\left( {3{a^2} - 1} \right).1 - \left( {{b^3} + 1} \right).1 + 3{c^2} + 4d =  - 7\\3.\left( {3{a^2} - 1} \right){.1^2} - 2.\left( {{b^3} + 1} \right) + 3{c^2} = 0\\3.\left( {3{a^2} - 1} \right){.2^2} - 2.2.\left( {{b^3} + 1} \right) + 3{c^2} = 0\end{array} \right.\) 

Đặt \(A = 3{a^2} - 1;B = {b^3} + 1;C = 3{c^2};\,D = 4d\)  ta được hệ mới

\(\left\{ \begin{array}{l}8A - 4B + 2C + D =  - 8\\A - B + C + D =  - 7\\3A - 2B + C = 0\\12A - 4B + C = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8A - 4B + 2C + D =  - 8\\7A - 3B + C =  - 1\\3A - 2B + C = 0\\12A - 4B + C = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 2\\B = 9\\C = 12\\D =  - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{a^2} - 1 = 2\\{b^3} + 1 = 9\\3{c^2} = 12\\4d =  - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 4\\{c^2} = 4\\{d^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 18\)

Chọn B.