Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = a,\,\,\widehat {ASB} = \widehat {ASC} = {90^0};\,\,\widehat {BSC} = {60^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp.
- A \(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{6}\)
- B \(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}\)
- C \(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{{18}}\)
- D \(\dfrac{{7\pi {a^2}}}{{12}}\)
Phương pháp giải:
Chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là \({R_{cau}} = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + R_{day}^2} \) trong đó Rđáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)\). Khi đó ta có chóp SABC có cạnh SA vuông góc với mặt (SBC).
Gọi Rđáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Xét tam giác SBC có \(\left\{ \begin{array}{l}SB = SC = a\\\widehat {BSC} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SBC\) đều \( \Rightarrow {R_{day}} = \dfrac{{{a^3}}}{{4S}} = \dfrac{{{a^3}}}{{4.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\).
Áp dụng công thức tính nhanh \({R_{cau}} = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + R_{day}^2} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{7{a^2}}}{{12}} = \dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
