Phương pháp giải:

Diện tích toàn phần của hình trụ: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)

Thể tích khối trụ:  \(V = \pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 24\left( {c{m^2}} \right)\,\, \Rightarrow 2\pi rh = 24 - 2\pi {r^2} \Leftrightarrow h = \dfrac{{12}}{{\pi r}} - r\)

Thể tích khối trụ:  \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}\left( {\dfrac{{12}}{{\pi r}} - r} \right) = 12r - \pi {r^3} = f\left( r \right),\,\,\left( {r > 0} \right)\)

Ta có: \(f'\left( r \right) = 12 - 3\pi {r^2},\,\,\,\,f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \dfrac{2}{{\sqrt \pi  }}\).

Lập BBT ta nhận được \(\max f\left( r \right) = f\left( {\dfrac{2}{{\sqrt \pi  }}} \right)\). Khi đó \(h = \dfrac{{12}}{{\pi .\dfrac{2}{{\sqrt \pi  }}}} - \dfrac{2}{{\sqrt \pi  }} = \dfrac{6}{{\sqrt \pi  }} - \dfrac{2}{{\sqrt \pi  }} = \dfrac{4}{{\sqrt \pi  }}\).

Chọn: C