Phương pháp giải:

+) Đặt \(t\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  + 1 \ge 1\), đưa bất phương trình về dạng \(f\left( t \right) \le m\). Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( t \right) \le m\).

+) Dựa vào BBT, nhận xét và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t\left( x \right) = \sqrt {x - 1}  + 1 \ge 1\) khi đó ta có \(f\left( t \right) \le m\)  (*)

Để phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 1\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( t \right) \le m\).

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( t \right) =  - 2 \Rightarrow m \ge  - 2\).

Chọn B.