Câu hỏi
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(BC = 2a\) và \(\widehat B = {30^0}\). Quay tam giác vuông này quanh trục AB, ta được một hình nón đỉnh B. Gọi là diện tích toàn phần của hình nón đó và là diện tích mặt cầu có đường kính AB. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).
- A \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1\)
- B \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{2}{3}\)
- C \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2}\)
- D \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{1}{2}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\) trong đó r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là \(S = 4\pi {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AB ta nhận được hình nón có đường cao \(h = AB = BC.\cos 30 = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) và bán kính đáy \(r = AC = BC.\sin 30 = 2a.\frac{1}{2} = a\).
Khi đó ta có \({S_1} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .a.2a + \pi .{a^2} = 3\pi {a^2}\).
Mặt cầu có đường kính AB có bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {S_2} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi {a^2} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1\)
Chọn A.
Câu hỏi trước
