Phương pháp giải:

a) Hai số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Gọi d là ước chung lớn nhất của \(2n + 3\) và \(4n + 8\)  sau đó chứng minh \(d = 1\) .

b) Nhân thêm 2 vào cả hai vế của A, rồi thực hiện phép trừ \(2A - A\) để tìm ra A.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi d là ước chung lớn nhất của \(2n + 3\) và \(4n + 8\) \( \Rightarrow 2n + 3 \vdots d\) và \(4n + 8 \vdots d\)

\(\begin{array}{l}2n + 3 \vdots d \Rightarrow 2\left( {2n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 4n + 6 \vdots d\\\left. \begin{array}{l}4n + 8 \vdots d\\4n + 6 \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 4n + 8 - 4n - 6 \vdots d \Rightarrow 2 \vdots d\end{array}\)         

\( \Rightarrow d = 1\)  hoặc \(d = 2\)

Ta lại có: \(2n + 3\) là số lẻ, mà \(2n + 3 \vdots d\) nên \(d = 2\,\) (vô lí). Do đó: \(d = 1\)

Vậy với mọi số tự nhiên \(n\) hai số \(2n + 3\) và \(4n + 8\) nguyên tố cùng nhau.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}2A = 1.2 + 2.2 + {2^2}.2 + ... + {2^{30}}.2 \Leftrightarrow 2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{31}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{31}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{30}}} \right)\\ \Rightarrow A = {2^{31}} - 1\\ \Rightarrow A + 1 = {2^{31}} - 1 + 1 = {2^{31}}\end{array}\)

Vậy \(A + 1 = {2^{31}}\)