Phương pháp giải:

Để tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{{{2^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n\) ta tách thành hiệu \({S_1}\) và \({S_2}\) với \({S_1} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}} ;\;\;{S_2} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}} .\)

Biến đổi  \(C_n^k\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}\) và \(\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}\) về công thức tổng quát.

Chú ý: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(S = \frac{{{2^1}}}{1}C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + .... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n - \left( {\frac{1}{1}C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + ..... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n} \right) = {S_1} - {S_2}\)

Trong đó:

 \(\begin{array}{l}{S_1} = \frac{{{2^1}}}{1}C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}} ;{\rm{ }}\\{S_2} = 1C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}} \end{array}\)

Mà

\(\begin{array}{l}\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}C_n^k = \frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{(n - k)!k!}} = \frac{{{2^{k + 1}}}}{{(n + 1)(k + 1)!}}\frac{{(n + 1)!}}{{\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!}} = \frac{{{2^{k + 1}}}}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{{n + 1}}{2^{k + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\ \Rightarrow \frac{{{2^1}}}{1}C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{n + 1}^{k + 1}} {2^{k + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {{{(1 + 2)}^{n + 1}} - 1} \right] = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!{\rm{[(}}n + 1) - (k + 1))!}} = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\\end{array}\)

Theo  đề  bài \(k = 0;\;1;\;2....;\;n\)  ta có:

\( \Rightarrow {S_2} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_{n + 1}^{k + 1}}  = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {C_{n + 1}^k}  - C_{n + 1}^0} \right) = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}\)

Suy ra: \(S = \frac{{{3^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}\).

Chọn A