Phương pháp giải:

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Leftrightarrow AI = BI = CI\)

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};\;{y_B} - {y_A}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {a;\;b} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = \left( {a + 3;b} \right) \Rightarrow A{I^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {b^2}\\\overrightarrow {BI}  = \left( {a - 3;\;b} \right) \Rightarrow B{I^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2}\\\overrightarrow {CI}  = \left( {a;b - 3\sqrt 3 } \right) \Rightarrow C{I^2} = {a^2} + {\left( {b - 3\sqrt 3 } \right)^2}\end{array}\)

\(I\left( {a;\;b} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow AI = BI = CI \Rightarrow A{I^2} = B{I^2} = C{I^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 3} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2}\,\,\,\,\,\,\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 3\sqrt 3 } \right)^2}\,\,\,\,\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a + 9 =  - 6a + 9\\ - 6a + 9 =  - 6\sqrt 3 b + 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\;\sqrt 3 } \right).\end{array}\)

Chọn A.