Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất chia hết. \(M = \left( {9a + 11b} \right)\left( {5b + 11a} \right) \vdots 19\,\,\,\,\,\left( {a,b \in {N^*}} \right)\) thì nó cũng chia hết cho \(361\) ta cần chỉ ra, một trong hai số chia hết cho \(19\) thì số còn lại cũng chia hết cho \(19.\)

Lưu ý: \(361 = 19 \times 19.\)

Xét: \(m\left( {9a + 11b} \right) + n\left( {5b + 11a} \right) \vdots 19\) với \(m,\, n\) nguyên tố cùng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: với \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 9a + 11b\) và \(5b + 11a\) cùng là các số tự nhiên khác \(0.\)

Khi đó \(M = \left( {9a + 11b} \right)\left( {5b + 11a} \right)\,\, \vdots \,\,19\) thì \(\left[ \begin{array}{l}9a + 11b\,\, \vdots \,\,19\\5b + 11a\,\, \vdots \,\,19\end{array} \right..\)

TH1: Xét \(9a + 11b\,\, \vdots \,\,19\)

\( \Rightarrow \) Để chứng minh \(M\,\, \vdots \,\,361,\) ta cần chứng minh \(5b + 11a\,\, \vdots \,\,19.\)

Ta có: \(38\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 38\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,19\)

\(\begin{array}{l}38\left( {a + b} \right) = 38a + 38b = 11a + 27a + 5b + 33b\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {27a + 33b} \right) + 11a + 5b = 3\left( {9a + 11b} \right) + \left( {11a + 5b} \right).\end{array}\)

Vì \(9a + 11b\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 3\left( {9a + 11b} \right)\,\, \vdots \,\,19\) và \(38\left( {a + b} \right)\,\,\, \vdots \,\,19\)

  \(\begin{array}{l} \Rightarrow 11a + 5b\,\, \vdots \,\,19.\\ \Rightarrow M = \left( {9a + 11b} \right)\left( {5b + 11a} \right)\,\, \vdots \,\,361.\end{array}\)

TH2: Xét \(5b + 11a\,\, \vdots \,\,19\)

\( \Rightarrow \) Để chứng minh \(M\,\, \vdots \,\,361,\) ta cần chứng minh \(9a + 11b\,\, \vdots \,\,19.\)

Ta có: \(38\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 38\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,19\)

\(\begin{array}{l}38\left( {a + b} \right) = 38a + 38b = 11a + 27a + 5b + 33b\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {27a + 33b} \right) + 11a + 5b = 3\left( {9a + 11b} \right) + \left( {11a + 5b} \right).\end{array}\)

Vì \(38\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,19\) và \(11a + 5b\,\,\, \vdots \,\,19\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\left( {9a + 11b} \right)\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 9a + 11b\,\, \vdots \,\,19.\\ \Rightarrow M = \left( {9a + 11b} \right)\left( {5b + 11a} \right)\,\, \vdots \,\,361.\end{array}\)

Vậy khi \(M = \left( {9a + 11b} \right)\left( {5b + 11a} \right)\,\, \vdots \,\,19\) thì \(M\,\, \vdots \,\,361.\)