Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

+) Bước 1: Giải phương trình \(y' = 0 \Rightarrow \) các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

+) Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

+) Bước 3: Kết luận: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = {x^5} - 5{x^4} + 5{x^3} + 1 \Rightarrow y' = 5{x^4} - 20{x^3} + 15x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 5x\left( {{x^3} - 4{x^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \dfrac{{3 + \sqrt {21} }}{2} \notin \left[ { - 1;2} \right]\\x = \dfrac{{3 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\)

Hàm số đã cho liên tục trên \(\left[ { - 1;2} \right]\), khi đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 0 \right);y\left( 1 \right);y\left( {\dfrac{{3 - \sqrt {21} }}{2}} \right);y\left( 2 \right)} \right\} = y\left( 1 \right) = 2\)

Chọn: C