Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}};\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,{P_n} = n!\).

Lời giải chi tiết:

\(A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = {P_2}\left( {2n + 3} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!2!}} = 2!\left( {2n + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2} = 4n + 6 \Leftrightarrow 2{n^2} - 2n - {n^2} - n = 8n + 12\\ \Leftrightarrow {n^2} - 11n - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 12\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 12\end{array}\)

Vậy \(n = 12\).