Phương pháp giải:

a) Đặt \(64a = 80b = 96c = d\) vì a, b, c nhỏ nhất khác 0 nên \(d = BCNN\left( {64;80;96} \right)\) từ đó suy ra a, b, c.

b) a và b là hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ƯCLN\(\left( {a;b} \right) = 1\)

Lời giải chi tiết:

a) Tìm ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0 sao cho \(64a = 80b = 96c\).

Đặt \(64a = 80b = 96c = d\)

\( \Rightarrow d = BCNN\left( {64;80;96} \right) = 960\)

\( \Rightarrow a = 960:64 = 15\,\,;\,\,b = 960:80 = 12\,\,;\,\,c = 960:96 = 10\) 

b) Chứng tỏ rằng: \(\left( {7n + 10} \right)\) và \(\left( {5n + 7} \right)\) là hai số nguyên tố cùng nhau (\(n \in N\)).

Gọi \(e = \) ƯCLN\(\left( {7n + 10;5n + 7} \right)\). Nên suy ra:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7n + 1\,0\,\, \vdots \,\,e\\5n + 7\,\, \vdots \,\,e\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\left( {7n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,e\\7\left( {5n + 7} \right)\,\, \vdots \,\,e\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}35n + 50\,\, \vdots \,\,e\\35n + 49\,\, \vdots \,\,e\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {35n + 50} \right) - \left( {35n + 49} \right)\,\, \vdots \,\,e\\ \Rightarrow 35n + 50 - 35n - 49\,\, \vdots \,\,e \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,e \Rightarrow e = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) ƯCLN\(\left( {7n + 10;5n + 7} \right)\,\, = 1\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {7n + 10} \right)\) và \(\left( {5n + 7} \right)\) là hai số nguyên tố cùng nhau.