Phương pháp giải:

+) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện là điểm cách đều tất cả các đỉnh của tứ diện.

+) Áp dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại B, M là trung điểm của AC \( \Rightarrow M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I là trung điểm của CD \( \Rightarrow IC = ID\) (1)

Ta có: IM là đường trung bình của tam giác ACD

\( \Rightarrow IM//AD\)

Mà \(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\) (2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow IA = IB = IC = ID \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện\(ABCD\), bán kính mặt cầu: \(r = \dfrac{{CD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {A{D^2} + A{C^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Chọn: D