Phương pháp giải:

a) Xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

b) \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}},\,\,C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}},\,\,\,\left( {k,n \in N;\,\,k \le n} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{16 + 14}^6 = C_{30}^6\)

Gọi A: “trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ gấp đôi số học sinh nam”

Vì trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ gấp đôi số học sinh nam nên số học sinh nam là 2, số học sinh nữ là 4.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{16}^2C_{14}^4\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{16}^2C_{14}^4}}{{C_{30}^6}} = \frac{{88}}{{435}}\).

b) Giải phương trình: \(3A_{x - 2}^2 - 2C_x^{x - 2} - 2{x^2} + 38 = 0\)

Ta có: \(3A_{x - 2}^2 - 2C_x^{x - 2} - 2{x^2} + 38 = 0,\,\,\left( {x \in N,x \ge 4} \right)\,\,\)

\(\begin{array}{l}\, \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {x - 2} \right)!}}{{\left( {x - 4} \right)!}} - 2.\frac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!2!}} - 2{x^2} + 38 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 2{x^2} + 38 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 15x + 18 - {x^2} + x - 2{x^2} + 38 = 0\\ \Leftrightarrow  - 14x + 56 = 0 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ 4 \right\}\).