Câu hỏi
Cho ba số thực a, b, c thõa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4\). Khi hàm số \(y = a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x\) trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) nhận giá trị lớn nhất, hãy tính \(\frac{a}{b}\)?
- A \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
- B \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
- C \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
- D \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)
Phương pháp giải:
- Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá y, dùng dữ kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4\)
\(\)\(\left| y \right| = \left| {a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x} \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}2x} = 2\sqrt {3 - \cos 2x - {{\cos }^2}2x} \)
- Xét tiếp vế trái bất đẳng thức với dữ kiện \( - 1 \le \cos 2x \le 1\)
- Dùng điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức Bunhiacopxki để tính a, b, c
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left| y \right| = \left| {a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x} \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}2x} = 2\sqrt {3 - \cos 2x - {{\cos }^2}2x} \)
Đặt \(t = \cos 2x\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right).\) Xét: \(f(t) = 3 - t - {t^2} = \frac{{13}}{4} - {\left( {\frac{1}{2} + t} \right)^2} \le \frac{{13}}{4}\)
\(\)Thế thì: \(\left| y \right| \le \sqrt {13} \). Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}t = \cos 2x = - \frac{1}{2}\\a = \frac{b}{{\sqrt 2 \sin x}} = \frac{c}{{\sin 2x}}\end{array} \right.\)
Ta tìm được: \(x = \frac{\pi }{3}\), ta tính được: \(\frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt 2 \sin \frac{\pi }{3}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Chọn A.