Phương pháp giải:

- Xác định tập xác định của hàm số

- Quy đồng , chuyển hàm số về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\);với a , b, c là hệ số (có thể chứa y)

- Dựa vào điều kiện: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) xác định điều kiện của y.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left| {\sin x - 2\cos x} \right| \le \sqrt 5  < 3\)nên mẫu  luôn khác 0.

Ta có:

 \(\begin{array}{l}y = \frac{{3\sin x + 5\cos x}}{{\sin x - 2\cos x + 3}}\\ \Leftrightarrow y\left( {\sin x - 2\cos x + 3} \right) = 3\sin x + 5\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right)\sin x - \left( {2y + 5} \right)\cos x =  - 3y\end{array}\)

Điều kiện để có nghiệm x là:

\(\begin{array}{l}\;\;\;{\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {2y + 5} \right)^2} \ge {\left( { - 3y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 9 + 4{y^2} + 20y + 25 \ge 9{y^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 14y - 34 \le 0\\ \Leftrightarrow  - 1,65 \approx \frac{{7 - \sqrt {185} }}{4} \le y \le \frac{{7 + \sqrt {185} }}{4} \approx 5,15\end{array}\)

Những giá trị nguyên dương thõa mãn: \(y \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)

Chọn C.