Phương pháp giải:

Khi ta cho một giá trị của x thì sẽ có một giá trị của y tương ứng, vậy nếu coi y là tham số, x là ẩn. Ta sẽ xác định điều kiện của tham số y để phương trình \(y = \frac{{\sin 2x + 4\cos 2x}}{{4\sin 2x - \cos 2x + 5}}\)  có nghiệm x. Điều kiện của y này chính là miền giá trị của hàm số.

- Xác định tập xác định của hàm số

- Quy đồng , chuyển hàm số về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\);với a , b, c là hệ số (có thể chứa y)

- Dựa vào điều kiện: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)xác định điều kiện của y.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left| {\left( {4\sin 2x - \cos 2x} \right)} \right| \le \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  < 5\) nên hàm số xác định với mọi x.

Xét:            

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = \frac{{\sin 2x + 4\cos 2x}}{{4\sin 2x - \cos 2x + 5}}\\ \Leftrightarrow y\left( {4\sin 2x - \cos 2x + 5} \right) = \sin 2x + 4\cos 2x\\ \Leftrightarrow \left( {4y - 1} \right)\sin 2x - \left( {y + 4} \right)\cos 2x =  - 5y\end{array}\)

Để có x  thì y thõa mãn:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {4y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} \ge {\left( { - 5y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{y^2} - 8y + 1 + {y^2} + 8y + 16 \ge 25{y^2}\\ \Leftrightarrow \,\,8{y^2} \le 17\\ \Leftrightarrow  - \sqrt {\frac{{17}}{8}}  \le y \le \sqrt {\frac{{17}}{8}} \\ \Leftrightarrow  - 1,475 \le y \le 1,475\end{array}\)

Để y nguyên thì \(y \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)

Chọn B.