Phương pháp giải:

- Xác định tâm mặt cầu.

- Tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Tam giác ABC vuông tại B \( \Rightarrow \) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

IO là đường trung bình của tam giác SAC \( \Rightarrow IO//SA\)

Mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\) (1)

Tam giác SAC vuông tại A \( \Rightarrow IA = IS = IC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và  bán kính mặt cầu \(R = \dfrac{{SC}}{2}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại B \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = a\sqrt {10} \)

\(\Delta SAC\) vuông tại A \( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {10} a} \right)}^2}}  = a\sqrt {26} \)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC bằng \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {a \dfrac{\sqrt {26}}{2} } \right)^2} = 26\pi {a^2}\).

Chọn: D