Phương pháp giải:

+) Từ giả thiết thiết lập mối quan hệ x, y với z.

+) Thay vào P tính giá trị

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2z = 0\\2x + 3y - 5z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2z\\2x + 3y = 5z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 4z\\2x + 3y = 5z\end{array} \right.$

Trừ vế theo vế ta được

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 4z\\2x + 3y = 5z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z\\2x + 3y = 5z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z\\2x + 3z = 5z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z\\x = z\end{array} \right.$

Thay $x = y = z$ vào P ta được : $P = \frac{{xy + yz + zx}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = \frac{{3{z^2}}}{{3{z^2}}} = 1$

Vây $P = 1.$