Lời giải chi tiết:

*) Ta sẽ cần tính xác suất để bạn A làm được :

    +) Đúng k câu trên 50 câu.

    +) Sai \(\left( {50 - k} \right)\) câu còn lại.

*) A làm đúng k câu, số cách chọn k câu trong 50 câu là \(C_{50}^k\)

Xác suất đúng 1 câu là \(\frac{1}{4}\), xác suất sai 1 câu là \(\frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \) Xác suất đúng k câu là \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}\), xác suất sai \(\left( {50 - k} \right)\) câu là \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{50 - k}}\)

Vậy xác suất để bạn A đúng k câu là: \({P_k} = C_{50}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{50 - k}}\)

Xét

\(\begin{gathered}  \frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} = \frac{{C_{50}^{k + 1}{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^{k + 1}}{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{50 - \left( {k + 1} \right)}}}}{{C_{50}^k{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^k}{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{50 - k}}}} \hfill \\   = \frac{{\frac{{50!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {50 - k - 1} \right)!}}.\frac{1}{4}}}{{\frac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}}.\frac{3}{4}}} \hfill \\   = \frac{{50!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {50 - k - 1} \right)!}}.\frac{1}{4}.\frac{{k!\left( {50 - k} \right)!}}{{50!}}.\frac{4}{3} \hfill \\   = \frac{{50 - k}}{{3\left( {k + 1} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \)

Ta có:

\(\begin{gathered}  \frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{50 - k}}{{3\left( {k + 1} \right)}} > 1 \Leftrightarrow 50 - k > 3k + 3 \Leftrightarrow k < \frac{{47}}{4} = 11,75 \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;...;11} \right\} \hfill \\  \frac{{{P_{k + 1}}}}{{{P_k}}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{50 - k}}{{3\left( {k + 1} \right)}} < 1 \Leftrightarrow 50 - k < 3k + 3 \Leftrightarrow k > \frac{{47}}{4} = 11,75 \Rightarrow k \in \left\{ {12;13;...;49} \right\} \hfill \\  k = 1 \Rightarrow {P_2} > {P_1} \hfill \\  k = 2 \Rightarrow {P_3} > {P_2} \hfill \\  .... \hfill \\  k = 11 \Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}} \hfill \\  k = 12 \Rightarrow {P_{13}} < {P_{12}} \hfill \\  ... \hfill \\  k = 49 \Rightarrow {P_{50}} < {P_{49}} \hfill \\   \Rightarrow {P_{11}} > {P_{10}} > ... > {P_1} \hfill \\  \,\,\,\,\,\,{P_{12}} > {P_{13}} < ... > {P_{50}} \hfill \\ \end{gathered} \)

Vì xác suất làm đúng câu k của học sinh A đạt giá trị lớn nhất nên \(\left[ \begin{gathered}  k = 11 \hfill \\  k = 12 \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)

Ta có: \(\frac{{{P_{12}}}}{{{P_{11}}}} > 1 \Rightarrow {P_{12}} > {P_{11}} \Rightarrow k = 12\) thỏa mãn.

Vậy khi đó An làm đúng 12 câu và sai 38 câu, số điểm của An là \(12.0,2 = 2,4\) điểm.