Phương pháp giải:

Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\) . Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{2}{x} + \frac{1}{{4y}}} \right)\left( {2x + y} \right) \ge {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow P.\frac{5}{4} \ge \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow P \ge 5\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {\frac{2}{x}} }}{{\sqrt {2x} }} = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{4y}}} }}{{\sqrt y }} \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{{2y}} \Leftrightarrow x = 2y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \({P_{\min }} = 5\).

Chọn đáp án C.