Phương pháp giải:

\(\frac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} = \frac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt k }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\) với \(k \ge 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{k\sqrt {k - 1}  + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k  - \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }} = \frac{{\sqrt k  - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt k }}\end{array}\)  

Thay lại vào A ta được:

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2018\sqrt {2017}  + 2017\sqrt {2018} }}\\\,\,\,\,\, = \,\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + ..... + \left( {\frac{1}{{\sqrt {2017} }} - \frac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)\\\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{{\sqrt {2018} }}\end{array}\)