Phương pháp giải:

+) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD và tam giác SAB.

+) Dựng hai trục của hai mặt SAB và ABCD.

+) Xác định giao điểm của hai trục vừa dựng, đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Lời giải chi tiết:

 Gọi I là trung điểm của AB ta có \(OI \bot AB \Rightarrow OI \bot \left( {SAB} \right)\)

Tam giác SAB vuông tại S nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

\( \Rightarrow OS = OA = OB\)

Lại có \(OA = OB = OC = OD\)

\( \Rightarrow OS = OA = OB = OC = OD \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(R = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{{a^2}}}{2} = 2\pi {a^2}\)

Chọn A.