Phương pháp giải:

Thể tích khối cầu bán kính R là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi M là trung điểm của SB.

Trong (SBD) qua M kẻ \(MI \bot SB\,\,\left( {I \in SO} \right) \Rightarrow I\)là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Xét tam giác vuông SAO có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 2 \)

Ta có \(\Delta SOB \sim \Delta SMI \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SO}} \Rightarrow SI = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^3} = \frac{{8\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\)

Chọn D.