Lời giải chi tiết:

+) Lập phương trình trung trực của MN: 

Gọi K là trung điểm của MN \( \Rightarrow K\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

Phương trình đường thẳng MN: \(\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow x - 1 + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\)

Đường trung trực của MN vuông góc với MN nên có phương trình dạng \(x - y + c = 0\,\,\left( d \right)\) 

\(K\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right) \in \left( d \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + c = 0 \Leftrightarrow c =   1 \Rightarrow pt\left( d \right):\,\,x - y + 1 = 0\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( d \right) \Rightarrow I\left( {a;a + 1} \right)\\R = IM = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {a^2}} \end{array} \right.\)

+) (C) tiếp xúc ngoài với (C’) nên 

\(\begin{array}{l}
R + R' = II' \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {a^2}} + 4 = \sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {a - 4} \right)}^2}} \\
\Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 2a + 1} + 4 = \sqrt {2{a^2} - 18a + 41} \\
\Leftrightarrow 2{a^2} - 2a + 1 + 8\sqrt {2{a^2} - 2a + 1} + 16 = 2{a^2} - 18a + 41\\
\Leftrightarrow 8\sqrt {2{a^2} - 2a + 1} = - 16a + 24 \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 2a + 1} = 3 - 2a\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 2a \ge 0\\
2{a^2} - 2a + 1 = 9 - 12a + 4{a^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \le \frac{3}{2}\\
{a^2} - 5a + 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1
\end{array}\)

Khi đó ta có: I (1;2); R = 1

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\)

Chọn D.