Phương pháp giải:

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 3m} \right\}\)

Ta có \(y' = \dfrac{{3m - 1}}{{{{\left( {x + 3m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {6; + \infty } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 1 < 0\\ - 3m \notin \left( {6; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 1 < 0\\ - 3m \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le m < \dfrac{1}{3}\)

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn là \( - 2; - 1;0\).

Chọn A.