Câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;1;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
- A \(72\)
- B \(216\)
- C \(108\)
- D
\(36\)
\(108\)
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức thể tích tứ diện vuông tại \(A\) là \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD\)
- Công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông tại \(A\) là \(R = IA = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(AI = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2} = 3\sqrt 3 \) \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} = 4.A{I^2} = 4.27 \ge 3\sqrt[3]{{A{B^2}.A{C^2}.A{D^2}}} \Leftrightarrow AB.AC.AD \le 216\)
Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD \le \frac{1}{6}.216 = 36\)
Dấu \( = \) xảy ra khi \(AB = AC = AD = 6\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
