Phương pháp giải:

Điểm cực tiểu của hàm số \(y = g\left( x \right)\) thỏa mãn \(g'\left( x \right) = 0\) và qua đó \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}x < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\\1 > x > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Qua điểm \(x = 0\) thì \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu \( \Rightarrow x = 0\) không là cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

\(\begin{array}{l}0 < x < 1 \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\\1 < x < 2 \Rightarrow f'\left( x \right) >  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Qua điểm \(x = 1\) thì \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

\(\begin{array}{l}1 < x < 2 \Rightarrow f'\left( x \right) >  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) > 0\\2 < x \Rightarrow f'\left( x \right) <  - 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow g'\left( x \right) < 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Qua điểm \(x = 2\) thì \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm \( \Rightarrow x = 2\) là điểm cực đại của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + x\) có 1 điểm cực tiểu.

Chọn D.